Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为135°，求
①|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|的值；
②若（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求实数k的值．

Answer 1

分析 ①根据向量数量积的公式先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|-2，然后根据向量长度和向量数量积的关系即可求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|的值；
②若（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），根据向量垂直转化为（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，利用向量数量积的运算法则建立方程即可求实数k的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为135°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos135°=2×$\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=-2，
①|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4-4×（-2）+4×2}$=$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
②若（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
则（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
即k$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=4k-2+4k-4=0，
即8k=6，k=$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的四则运算法则以及向量数量积与向量长度，向量垂直的关系进行转化是解决本题的关键．