Question

已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F（

7

，0），直线y=x-1与其相交于M，N两点．若MN的中点横坐标为-

2

3

，则此双曲线的方程为

 

．

Answer 1

分析：先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．

解答：解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．
将y=x-1代入

x2

a2

-

y2

b2

=1，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0．
由韦达定理得x₁+x₂=

2a2

a2-b2

，则

x1+x2

2

=

a2

a2-b2

=-

2

3

．
又c²=a²+b²=7，解得a²=2，b²=5，
所以双曲线的方程是

x2

2

-

y2

5

=1．
故答案为：

x2

2

-

y2

5

=1．

点评：本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．