Question

（如图）过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
（1）求椭圆

x2

5

+y2=1的“左特征点”M的坐标．
（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设M(m，0)为椭圆

x2

5

+y2=1的左特征点，由椭圆左焦点F（-2，0），可设直线AB方程为x=ky-2（k≠0），代入

x2

5

+y2=1，得（k²+5）y²-4ky-1=0，由∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0整理可求．
（2）对于椭圆

x2

5

+y2=1，a=

5

，b=1，c=2，结合椭圆的性质特征可猜想：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左特征点是椭圆的左准线与x轴的交点，然后可以利用第二定义给与证明．

解答：解：（1）设M(m，0)为椭圆

x2

5

+y2=1的左特征点
因为，椭圆的左焦点F（-2，0），
可设直线AB的方程为x=ky-2（k≠0）
代入

x2

5

+y2=1，得：（ky-2）y²+5y²=5，
即（k²+5）y²-4ky-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y1+y2=

4k

k2+5

，y1y2=-

1

k2+5

由于，∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0y₁（x₂-m）+y₂（x₁-m）=0，即y₁（ky₂-2）+y₂（ky₁-2）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+2）=0
于是，2k(-

1

k2+5

)-

4k

k2+5

(m+2)=

-2k[1+2(m+2)]

k2+5

=0
因为k≠0，所以1+2（m+2）=0，即m=-

5

2

M=(-

5

2

，0)
（2）对于椭圆

x2

5

+y2=1，a=

5

，b=1，c=2，-

a2

c

=-

5

2

于是猜想：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点
证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，
垂足为C、D．
据椭圆的第二定义：

|AF|

|AC|

=

|BF|

|BD|

，即

|AF|

|BF|

=

|AC|

|BD|

由于AC∥FM∥BD，所以

|AF|

|BF|

=

|CM|

|DM|

于是

|AC|

|BD|

=

|CM|

|DM|

，即

|AC|

|CM|

=

|BD|

|DM|

所以，∠AMC=∠BMD⇒∠AMF=∠BMF
则MF为∠AMB的平分线
故M为椭圆的“左特征点”．

点评：本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的处理，要注意解题中直线AB得方程设为x=ky-2（k≠0）的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在．