Question

几位同学在研究函数（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；③f（x）在（0，+∞）是增函数；④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则对任意n∈N^*恒成立，
上述结论中正确的个数有    个．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，以此分析命题：①函数f（x）的值域为（-1，1），可由绝对值不等式的性质证明得；②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），可根据函数的解析式判断出其是一个增函数，；③与②的判断方法一样；④由其形式知，此是一个与自然数有关的命题，故采用数学归纳法进行证明，即可得答案．
解答：解：①|x|＜1+|x|，故，函数f（x）的值域为（-1，1），①正确；
②函数是一个奇函数，当x≥0时，，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数（x∈R）是一个增函数，故若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），此命题正确；
③由②已证，故此命题正确；
④当n=1，f₁（x）=f（x）=，，假设n=k时，成立，则n=k+1时，成立，由数学归纳法知，此命题正确．
故答案为 4
点评：本题考查数学归纳法以及函数的单调性的判断与证明，函数的值域的求法等，本题涉及函数的三大性质，以及数学归纳法证明，难度不小，综合性强．求解本题的关键是用数学归纳法证明命题④，要注意数学归纳法的格式，数学归纳法的特征．第一题中值域的证明也是一个难点，作为一个判断题，本题的难点就不难了．