Question

直线l过椭圆C：

x2

2

+y²=1的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点，M为弦PQ的中点，O为原点，若△PMO是以线段OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程，和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由-

2k2

2k2+1

=-

1

2

求得直线的斜率．

解答： 解：由

x2

2

+y²=1，得a²=2，b²=1，
∴c²=a²-b²=2-1=1．
则c=1，则左焦点F（-1，0）．
由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，
则直线l的方程为y=kx+k．
设l与椭圆相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
联立

x2 2 +y2=1 y=kx+k

，得：（2k²+1）x²+4k²x+2k-2=0．
则PQ的中点M的横坐标为

x1+x2

2

=-

2k2

1+2k2

．
∵△FMO是以OF为底边的等腰三角形，
∴-

2k2

2k2+1

=-

1

2

．解得：k=±

2

2

．
故答案为：±

2

2

．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．