设
是椭圆
上的两点，已知向量
，若
且椭圆的离心率
，短轴长为2，O为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
（1）
；（2）△AOB的面积为定值1.
【解析】
试题分析：（1）由题可得
，则椭圆方程为 3分
（2）当
轴时：
，则
由对称性只取
.
△AOB的面积为
6分
当AB与x轴不垂直时，设AB：y =kx + m.
则
8分
O到直线AB的距离：
，S△AOB
10分
又
13分
S△AOB
△AOB的面积为定值1.
14分
考点：本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系
点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，定值、最值、范围问题将有所加强；利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后命题的一个新的重点、热点.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
（12分）设
是椭圆
上的两点，已知
，若
，椭圆的离心率
，短轴长为2，
为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
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科目：高中数学 来源： 题型：
（12分）设
是椭圆
上的两点，已知
，若
，椭圆的离心率
，短轴长为2，
为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F(0，c),(c为半焦距），求直线AB 的斜率k的值。查看答案和解析>>
科目：高中数学 来源：河北省2010年高考适应性测试数学试卷理 题型：解答题
设
是椭圆
上的两点，已知向量
,若
且椭圆的离心率e=,短轴长为
，
为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
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科目：高中数学 来源： 题型：
（本小题满分12分）设
是椭圆
上的两点，已知向量
,若
且椭圆的离心率e=,短轴长为
，
为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
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