Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]
设函数f（x）=|x+ |+|x﹣2m|（m＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；
（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x+ |+|x﹣2m|（m＞0），

∴f（x）=|x+ |+|x﹣2m|≥|x+ ﹣（x﹣2m）|=| +2m|= +2m≥2 =8，

当且仅当m=2时，取等号，故f（x）≥8恒成立．

（Ⅱ）f（1）=|1+ |+|1﹣2m|，当m＞ 时，f（1）=1+ ﹣（1﹣2m），不等式即 +2m＞10，

化简为m2﹣5m+4＞0，求得m＜1，或m＞4，故此时m的范围为（ ，1）∪（4，+∞）．

当0＜m≤ 时，f（1）=1+ +（1﹣2m）=2+ ﹣2m关于变量m单调递减，

故当m= 时，f（1）取得最小值为17，

故不等式f（1）＞10恒成立．

综上可得，m的范围为（0，1）∪（4，+∞）．

【解析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥8恒成立．

（Ⅱ）当m＞ 时，不等式即 +2m＞10，即m2﹣5m+4＞0，求得m的范围．当0＜m≤ 时，f（1）=1+ +（1﹣2m）=2+ ﹣2m关于变量m单调递减，求得f（1）的最小值为17，可得不等式f（1）＞10恒成立．综合可得m的范围．

【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．