Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据两角和与差的正余弦公式进行化简，根据T=

2π

w

可求得最小正周期，再由正弦函数的对称性可求得对称轴方程．
（Ⅱ）将f（x）的解析式代入到函数g（x）中，将sin(2x-

π

6

)作为一个整体将函数g（x）化简为二次函数的形式，结合正弦函数的值域和二次函数的最值的求法可求得函数g（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)
∴周期T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，得x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
∴函数图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)．
（Ⅱ）g（x）=[f（x）]²+f（x）
=sin2(2x-

π

6

)+sin(2x-

π

6

)
=[sin(2x-

π

6

)+

1

2

]2-

1

4

．
当sin(2x-

π

6

)=-

1

2

时，g（x）取得最小值-

1

4

当sin(2x-

π

6

)=1时，g（x）取得最大值2，
所以g（x）的值域为[-

1

4

， 2]．

点评：本题主要考查两角和与差的正余弦公式的应用和正弦函数的基本性质--最小正周期、对称性和值域．三角函数和二次函数的综合题是经常遇到的题型，这里要尤其注意正弦函数的值域．