Question

13．求证：$\frac{1}{2-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}＜\frac{5}{3}（n∈{N}^{*}）$．

Answer 1

分析 通过当n≥3时，利用$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{6×{2}^{n-3}}$放缩、计算即得结论．

解答 证明：记a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，则当n≥3时，a_n＜$\frac{1}{6×{2}^{n-3}}$，
∴$\frac{1}{2-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{6×{2}^{n-3}}$
=$\frac{4}{3}$+$\frac{\frac{1}{6}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）
＜$\frac{5}{3}$，
即$\frac{1}{2-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}＜\frac{5}{3}（n∈{N}^{*}）$．

点评 本题考查不等式的证明，利用放缩法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．