【题目】已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.
(1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点).
(2)∠MPN是直角.
【答案】(1) 点P的坐标为(7,0); (2) 点P的坐标为(1,0)或(6,0).
【解析】试题分析:(1)根据图像及斜率关系可得OM∥NP,故根据斜率的公式得到1=解出即可;(2)两个线段垂直,因为线段所在直线的斜率存在,故只要求斜率之积为-1,×=-1,解出即可。
(1)因为∠MOP=∠OPN,所以OM∥NP.
所以kOM=kNP.又kOM==1,
kNP==(x≠5),
所以1=,所以x=7,即点P的坐标为(7,0).
(2)因为∠MPN=90°,所以MP⊥NP,
根据题意知MP,NP的斜率均存在,
所以kMP·kNP=-1.
kMP=(x≠2),kNP=(x≠5),
所以×=-1,
解得x=1或x=6,即点P的坐标为(1,0)或(6,0).
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【题目】为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.
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【题目】求分别满足下列条件的直线l的方程:
(1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
(2)经过两点A(1,0)、B(m,1);
(3)经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
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【题目】已知,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为D1C1,C1B1的中点,
AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,E,F四点共面.
(2)若A1C交平面BDEF于点R,则P,Q,R三点共线.
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【题目】已知函数f(x)=2cos22x﹣2,给出下列命题: ①β∈R,f(x+β)为奇函数;
②α∈(0, ),f(x)=f(x+2α)对x∈R恒成立;
③x1 , x2∈R,若|f(x1)﹣f(x2)|=2,则|x1﹣x2|的最小值为 ;
④x1 , x2∈R,若f(x1)=f(x2)=0,则x1﹣x2=kπ(k∈Z).其中的真命题有( )
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
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【题目】某省高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行“3+3”的构成模式,第一个“3”是语文、数学、外语,每门满分150分,第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试,每门满分100分,高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S,从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查,他们选考物理,化学,生物的科目数及人数统计如表:
选考物理、化学、生物的科目数 | 1 | 2 | 3 |
人数 | 5 | 25 | 20 |
(I)从所调查的50名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率;
(II)从所调查的50名学生中任选2名,记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望;
(III)将频率视为概率,现从学生群体S中随机抽取4名学生,记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y,求事件“y≥2”的概率.
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【题目】微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下,对它们抢到的红包个数进行统计,得到如表数据:
型号 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ |
甲品牌(个) | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
乙品牌(个) | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
(Ⅰ)如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”,否则“非优”,请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关?
(Ⅱ)如果不考虑其它因素,要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售.
①求在型号Ⅰ被选中的条件下,型号Ⅱ也被选中的概率;
②以X表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).
下面临界值表供参考:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:K2= .
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【题目】设命题p:直线mx﹣y+1=0与圆(x﹣2)2+y2=4有公共点;设命题q:实数m满足方程 + =1表示双曲线.
(1)若“p∧q”为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.
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