精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

如图,AB是圆柱体OO′的一条母线,BC过底面圆的圆心O,D是圆O上不与点B、C重合的任意一点,已知棱AB=5,BC=5,CD=3.
(1)将四面体ABCD绕母线AB转动一周,求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积;
(2)二面角A-DC-B
(3)求AD与平面ABC所成的角.

解:(1)由题意可知,所求体积是两个圆锥体的体积之差,

故所求体积为15π
(2)因为点D在以BC为直径的圆上,所以BD⊥DC
因为AB⊥平面BDC,DC?平面BDC,所以AB⊥DC,
从而有CD⊥平面ABD,AD?平面ABD,所以CD⊥AD
所以∠ADB为二面角A-DC-B的平面角,在RT△ADB中,BD=4,
tan∠ADB=,所以
即二面角A-DC-B的大小为
(3)过E作DE⊥BC,连接AE,因为AB⊥平面BDC,所以AB⊥DE.
所以DE⊥平面ABC
所以∠DAE就是直线AD与平面ABC所成的角;
在RT△DBC中,DE=
在RT△DBA中,AD=
在RT△ADE中,sin∠DAE=
所以,∠DAE=arcsin
所以直线AD与平面ABC所成的角为arcsin
分析:(1)由题意可知,所求体积是两个圆锥体的体积之差,只须分别求出这两个锥体的体积后求它们的差即得
(2)因为点D在以BC为直径的圆上,所以BD⊥DC,又可知CD⊥AD,所以∠ADB为二面角A-DC-B的平面角,在RT△ADB中,可求二面角A-DC-B的大小;
(3)过E作DE⊥BC,连接AE,因为AB⊥平面BDC,所以AB⊥DE.所以DE⊥平面ABC,所以∠DAE就是直线AD与平面ABC所成的角,故可求直线AD与平面ABC所成的角.
点评:本题以旋转体为载体,考查几何体的条件,考查面面角,考查线面角,关键是角的寻找.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,AB是圆柱体OO′的一条母线,BC过底面圆的圆心O,D是圆O上不与点B,C重合的任意一点,已知棱AB=5,BC=5,CD=3.
(1)求直线AC与平面ABD所成的角的大小;
(2)将四面体ABCD绕母线AB转动一周,求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,AB是圆柱体OO′的一条母线,BC过底面圆的圆心O,D是圆O上不与点B、C重合的任意一点,已知棱AB=5,BC=5,CD=3.
(1)将四面体ABCD绕母线AB转动一周,求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积;
(2)二面角A-DC-B
(3)求AD与平面ABC所成的角.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,AB是圆柱体OO′的一条母线,BC过底面圆的圆心O,D是圆O上不与点B,C重合的任意一点,已知棱AB=5,BC=5,CD=3.
(1)求直线AC与平面ABD所成的角的大小;
(2)将四面体ABCD绕母线AB转动一周,求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年上海市十校高三(上)第一次联考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,AB是圆柱体OO′的一条母线,BC过底面圆的圆心O,D是圆O上不与点B,C重合的任意一点,已知棱AB=5,BC=5,CD=3.
(1)求直线AC与平面ABD所成的角的大小;
(2)将四面体ABCD绕母线AB转动一周,求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年上海市十校高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,AB是圆柱体OO′的一条母线,BC过底面圆的圆心O,D是圆O上不与点B,C重合的任意一点,已知棱AB=5,BC=5,CD=3.
(1)求直线AC与平面ABD所成的角的大小;
(2)将四面体ABCD绕母线AB转动一周,求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.

查看答案和解析>>

同步练习册答案