Question

12．如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小．

Answer 1

分析 设AQ=x，AP=y，利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DCQ=$\frac{DQ}{DC}$=1-x，tan∠BCP=1-y，再两角和的正切公式求得tan（∠DCQ+∠BCP）=1，可得∠DCQ+∠BCP=45°，从而求得∠PCQ=45°．

解答 解：设AQ=x，AP=y，则DQ=1-x，PB=1-y，（0＜x＜1，0＜y＜1），
则tan∠DCQ=$\frac{DQ}{DC}$=1-x，tan∠BCP=1-y，tan（∠DCQ+∠BCP）=$\frac{（1-x）+（1-y）}{1-（1-x）（1-y）}$=$\frac{2-（x-y）}{x+y-xy}$  ①．
在Rt△APQ中，PQ²=AQ²+AP²=x²+y²，又PQ=2-（x+y），∴（2-x-y）²=x²+y²，即 xy=2（x+y）-2  ②．
把②代入①可得tan（∠DCQ+∠BCP）=1，∴∠DCQ+∠BCP=45°，∴∠PCQ=45°．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．