Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面 平面，点在上，

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）找准突破方向，证明平面即可，再根据条件分析,利用面面垂直得线线垂直及平面几何知识即可证出；（Ⅱ）建系，利用空间向量解决问题，设设，计算二面角即可．

试题解析：（Ⅰ）取的中点，连接

因为，所以,

又平面平面,平面平面平面,

所以平面,

又平面,所以

在中， ,所以，

由角平分线定理，得，

又，所以,

又因为平面平面,

所以平面,

又平面，所以

（Ⅱ）在中， ,

由余弦定理得，所以，即,

所以，所以,

结合（Ⅰ）知， 两两垂直，以为原点，分别以向量的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），设,

则,

所以,

设是平面的一个法向量，

则即，整理，得

令，得

因为平面,所以是平面的一个法向量．

又因为二面角的余弦值为，

所以，解得或 （舍去），

又平面,A所以是三棱锥的高,

故