Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{9}^{x}-4•{3}^{x}+3+a}{{3}^{x}-1}$，x∈（0，1]，其中a为常数．
（1）若y=f（x）是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）利用指数函幂的运算法则，结合分式函数的性质，利用复合函数单调性的性质建立条件关系即可求实数a的取值范围；
（2）利用分式函数的性质，结合函数y=t+$\frac{a}{t}$的单调性即可求函数f（x）的最大值或最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{9}^{x}-4•{3}^{x}+3+a}{{3}^{x}-1}$=$\frac{（{3}^{x}）^{2}-4•{3}^{x}+3+a}{{3}^{x}-1}$
=$\frac{（{3}^{x}-1）^{2}-2•（{3}^{x}-1）+1+a}{{3}^{x}-1}$=（3^x-1）+$\frac{1+a}{{3}^{x}-1}$-2，
设t=3^x-1，则函数t=3^x-1为增函数，
∵x∈（0，1]，∴t∈（0，2]，
则函数等价为y=t+$\frac{1+a}{t}$-2，
若y=f（x）是减函数，
则等价为y=t+$\frac{1+a}{t}$-2在t∈（0，2]上是减函数，
则1+a＞0，且$\sqrt{1+a}$≥2，即a+1≥4，即a≥3，
即实数a的取值范围是[3，+∞）；
（2）∵函数f（x）等价y=t+$\frac{1+a}{t}$-2，t∈（0，2]，
若1+a≤0，即a≤-1，则函数y=t+$\frac{1+a}{t}$-2在（0，2]上为增函数，
此时函数的最大值为y=2+$\frac{1+a}{2}$-2=$\frac{1+a}{2}$，此时无最小值．
若1+a＞0，即a＞-1，此时函数y=t+$\frac{1+a}{t}$-2在（0，$\sqrt{1+a}$]上为减函数，在[$\sqrt{1+a}$，+∞）上为增函数，
若$\sqrt{1+a}$＞2，即a＞3时，函数在（0，2]是减函数，
则当x=2时，函数取得最小值y=2+$\frac{1+a}{2}$-2=$\frac{1+a}{2}$，此时无最大值．
若$\sqrt{1+a}$≤2，即-1＜a≤3时，函数y=t+$\frac{1+a}{t}$-2在（0，$\sqrt{1+a}$]上为减函数，在[$\sqrt{1+a}$，2]上为增函数，
此时当x=$\sqrt{1+a}$时，函数取得最小值y=t+$\frac{1+a}{t}$-2$≥2\sqrt{t•\frac{1+a}{t}}$-2=2$\sqrt{1+a}$-2，此时无最大值．

点评 本题主要考查函数最值的应用，利用分式函数的性质结合指数函数的单调性，利用换元法，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．