Question

16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{4}$，求：（1）c，a的值（2）△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理列出关系式，将b，sinB，sinC的值代入计算即可求出c的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（B+C），将各自的值代入求出sin（B+C）的值，进而确定出sinA的值，利用正弦定理即可求a．
（2）由b，c的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答 解：（1）∵b=2，B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$；
∵B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{4}$，
∴sinA=sin（B+C）=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
（2）△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{3}$+1．

点评 此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．