Question

19．设f（x）=$\frac{1}{x}$+alnx（a∈R）．
（1）若a＜0，且曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的面积为$\frac{9}{4}$，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若不等式$\frac{1}{x}$+2lnx≥m²-2m+1在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，可得切线方程，利用切线与两坐标轴围成的面积为$\frac{9}{4}$，建立方程，即可求实数a的值；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，知$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{a}{x}≥0$在[1，+∞）上恒成立，即可求实数a的取值范围；
（3）由（2）可知，当a=2时，函数$f（x）=\frac{1}{x}+2lnx$在[1，+∞）上单调递增．故f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=1，故只需1≥m²-2m+1，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由条件可得f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$，而f（1）=1，f′（1）=a-1，
故切线方程为：y-1=（a-1）（x-1）．
令x=0可得y=2-a，
令y=0，可得x=$\frac{2-a}{1-a}$，…（2分）
而a＜0，故切线与两坐标轴围成的面积为：$\frac{1}{2}$•（2-a）•$\frac{2-a}{1-a}$=$\frac{9}{4}$，
解之得a=-1或 a=$\frac{1}{2}$（舍去），
故a=-1．…（4分）
（2）由条件可知$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{a}{x}≥0$在[1，+∞）上恒成立，即$\frac{a}{x}≥\frac{1}{x^2}$，
即$a≥\frac{1}{x}$，故a≥1．…（8分）
（3）由（2）可知，当a=2时，函数$f（x）=\frac{1}{x}+2lnx$在[1，+∞）上单调递增．
故f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=1，…（10分）
故只需1≥m²-2m+1，
即m²-2m≤0，解之得0≤m≤2，即实数m的取值范围是[0，2]．…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．