【题目】已知椭圆,与轴的正半轴交于点,右焦点, 为坐标原点,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)已知点,过点任意作直线与椭圆交于两点,设直线的斜率,若,求椭圆的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)tan∠PFO=可得=,c=b,a==b即可得出(2)直线斜率不为0时,设出直线方程ty=x﹣1,设C(x1,y1),D(x2,y2).联立,化为:(t2+3)y2+2ty+1﹣3b2=0,∵k1+k2=2,∴+=2,根据韦达定理代入求解即可,斜率为0 时也成立
试题解析:
(1)∵tan∠PFO=,∴=,∴c=b,a==b.
∴==.
(2)直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为:ty=x﹣1.设C(x1,y1),D(x2,y2).
联立,化为:(t2+3)y2+2ty+1﹣3b2=0,
y1+y2=,y1y2=,
∵k1+k2=2,∴+=2,
化为:(y1﹣2)(ty2﹣2)+(y2﹣2)(ty1﹣2)=2(ty1﹣2)(ty2﹣2),
即:ty1y2=y1+y2,
∴t=,对t∈R都成立.
化为:b2=1,
直线l的斜率为0时也成立,
∴b2=1,
∴椭圆C的方程为.
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【题目】已知函数, 在和处取得极值,且,曲线在处的切线与直线垂直.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)证明关于的方程至多只有两个实数根(其中是的导函数, 是自然对数的底数).
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【题目】设m个正数a1 , a2 , …,am(m≥4,m∈N*)依次围成一个圆圈.其中a1 , a2 , a3 , …ak﹣1 , ak(k<m,k∈N*)是公差为d的等差数列,而a1 , am , am﹣1 , …,ak+1 , ak是公比为2的等比数列.
(1)若a1=d=2,k=8,求数列a1 , a2 , …,am的所有项的和Sm;
(2)若a1=d=2,m<2015,求m的最大值;
(3)是否存在正整数k,满足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3(ak+1+ak+2+…+am﹣1+am)?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
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【题目】互不相等的三个正数x1 , x2 , x3成等比数列,且点P1(logax1 , logby1)P2(logax2 , logby2),P3(logax3 , logby3)共线(a>0且a≠0,b>且b≠1)则y1 , y2 , y3成( )
A.等差数列,但不等比数列
B.等比数列而非等差数列
C.等比数列,也可能成等差数列
D.既不是等比数列,又不是等差数列
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【题目】如图,小明想将短轴长为2,长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE内接于半椭圆,DE∥AB,AB为短轴,OC为长半轴
(1)求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式;
(2)若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点,求底边DE的取值范围
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【题目】某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收,对办学的社会满意度一项评价随机访问了20为市民,这20位市民对这两所学校的评分(评分越高表明市民的评价越好)的数据如下:
甲校:58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81;
乙校:90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.
检查组将成绩分成了四个等级:成绩在区间的为等,在区间的为等,在区间的为等,在区间为等.
(1)请用茎叶图表示上面的数据,并通过观察茎叶图,对两所学校办学的社会满意度进行比较,写出两个统计结论;
(2)根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率.
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