Question

已知斜率为1的直线l与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线g：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知：l的方程为y=x+2，代入双曲线，得：（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则，，由M（1，3）为BD的中点，知，由此能求出双曲线C的离心率．
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），点F₁关于直线g：x-y+9=0的对称点F的坐标为（-9，6），直线FF₂的方程为x+2y-3=0，故交点M（-5，4）．由此能求出椭圆的方程．
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设知：l的方程为y=x+2，代入双曲线，并化简得：
（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，（*）…（2分）
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则，，…（4分）
由M（1，3）为BD的中点，知，故，
即b²=3a²．故c=2a，∴e=2．…（6分）
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），点F₁关于直线g：x-y+9=0①
的对称点F的坐标为（-9，6），直线FF₂的方程为x+2y-3=0，②…（8分）
解方程组①②得：交点M（-5，4），…（9分）
此时|MF₁|+|MF₂|最小，所求椭圆的长轴，
∴a=3，…（11分）
∵c=3，∴b²=36，故所求椭圆的方程为．…（12分）
点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．