Question

已知点集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若f(n)=

an(n=2k-1) bn(n=2k)

(k∈N+)，是否存在k∈N₊使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由y=

m

•

n

及

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，b+1)，可得L：y=2x+1，从而得P₁（0，1），则a₁=0，b₁=1，由等差数列通项公式可得a_n，代入y=2x-1可得b_n；
（2）假设存在符合条件的k使命题成立，分k为偶数，k为奇数两种情况进行讨论，分别表示出f（k+11），f（k），根据方程f（k+11）=2f（k），可解得k；
（3）当n≥2时，P_n（n-1，2n-1），可得|P₁P_n|=

5

（n-1），则

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]，对分母进行放缩后利用裂项相消法可进行化简，根据其范围可得结论；

解答：解：（1）由

y= m • n m =(2x-b，1) n =(1，b+1)

，得y=2x+1，
∴L：y=2x+1，∴P₁（0，1），则a₁=0，b₁=1，
∴a_n=n-1（n∈N₊），b_n=2n-1（n∈N₊）．
（2）假设存在符合条件的k使命题成立，
当k是偶数时，k+11是奇数，则f（k+11）=k+10，f（k）=2k-1，
由f（k+11）=2f（k），得k=4；
当k是奇数时，k+11是偶数，则f（k+11）=2k+21，f（k）=k-1，
由f（k+11）=2f（k），得k无解；
综上存在k=4，使得f（k+11）=2f（k）；
证明：（3）当n≥2时，P_n（n-1，2n-1），
∴|P₁P_n|=

5

（n-1），（n≥2）
∴

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]＜

1

5

[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-2)(n-1)

]=

1

5

[1+1-

1

n-1

]＜

2

5

．

点评：本题考查数列与不等式、数列与向量的综合，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．