Question

已知常数m＞0，向量

a

=（0，1），向量

b

=（m，0），经过点A（m，0），以λ

a

+

b

为方向向量的直线与经过点B（-m，0），以λ

b

-4

a

为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．
（1）求点P的轨迹E；
（2）若m=2

5

，F（4，0），问是否存在实数k使得以Q（k，0）为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E在x轴上方交于M、N两点，并且|MF|+|NF|=3

5

．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由λ

a

+

b

=（m，λ），知直线AP方程为y=

λ

m

(x-m)．由λ

b

-4

a

=（λm，-4），知直线NP方程为y=-

4

λm

(x+m)；所以

x2

m2

+

y2

4

=1，由此结合m的取值情况能够求出点P的轨迹E．
（2）假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：（x-k）²+y²=（4-k）²；椭圆E：

x2

20

+

y2

4

=1；其右焦点为F（4，0 ），且e=

2

5

5

．由圆Q与椭圆E的方程联立得2y²-5kx+20k-30=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

5

2

k．△=25k²-4×2（20k-30），由此能求出存在实数k=1满足要求．

解答：解：（1）∵λ

a

+

b

=（ m，λ），
∴直线AP方程为y=

λ

m

(x-m)  ①
又λ

b

-4

a

=（λm，-4），∴直线NP方程为y=-

4

λm

(x+m) ②
由①、②消去λ得 y2=-

4

m2

(x2- m2 )，即 

x2

m2

+

y2

4

=1．
故当m=2时，轨迹E是以（0，0）为圆心，以2为半径的圆：x²+y²=4；
当m＞2时，轨迹E是以原点为中心，以(±

m2-4

，0)为焦点的椭圆：
当0＜m＜2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为(0，±

4-m2

)的椭圆．
（2）假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：（x-k）²+y²=（4-k）²；
椭圆E：

x2

20

+

y2

4

=1；其右焦点为F（4，0 ），且e=

2

5

5

．
由圆Q与椭圆E的方程联立得2y²-5kx+20k-30=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

5

2

k  ③
△=25k²-4×2（20k-30），
又|MF|=2

5

-

2

5

5

x1，|NF|=2

5

-

2

5

5

x2，而|MF|+|NF|=3

5

；
∴2

5

-

2

5

5

x1+2

5

-

2

5

5

x2=3

5

，
由此可得x1+x2=

5

2

  ④
由③、④得k=1，且此时△＞0．故存在实数k=1满足要求．

点评：本题考查轨迹方程的求法和判断k是否存在．解题时要注意分类讨论思想和圆锥曲线性质的灵活运用．