Question

已知直线l₁、l₂分别与抛物线x²＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R)．
(1)求直线l₁、l₂的方程；
(2)若l₁、l₂与x轴分别交于P、Q，且l₁、l₂交于点R，经过P、Q、R三点作圆C.
①当a＝4，b＝－2时，求圆C的方程；
②当a，b变化时，圆C是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）l₁的方程为y＝x－；l₂的方程为y＝x－（2）①C的方程为x²＋y²－x＋7y－8＝0，②圆C过定点F(0，1)

(1)A，B，记f(x)＝，f′(x)＝，则l₁的方程为y－＝(x－a)，即y＝x－；同理得l₂的方程为y＝x－.
(2)由题意a≠b且a、b不为零，联立方程组可求得P，Q，R.
∴经过P、Q、R三点的圆C的方程为x＋(y－1)(y－ab)＝0，
当a＝4，b＝－2时，圆C的方程为x²＋y²－x＋7y－8＝0，
显然当a≠b且a、b不为零时，圆C过定点F(0，1)．