Question

已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2
（1）证明ON⊥OM；（2）求圆锥的体积．

Answer 1

分析：（1）先根据线面垂直的判定定理证明OM⊥平面SOA，然后根据线面垂直的判定定理可得ON⊥OM；
（2）设OA中点C，连接NC、CM，则NC∥SO，则∠MNC即为NM与高SO所成的角α，根据tanα=2可求出MC=2NC=SO，从而求出高SO，最后根据圆锥的体积公式解之即可．

解答：（1）证明：半径OM与母线SA垂直，则SA⊥OM
∵SO⊥OM，SA⊥OM，SO∩SA=S
∴OM⊥平面SOA
而ON?平面SOA
∴ON⊥OM（6分）
（2）解：设OA中点C，连接NC、CM，则NC∥SO，
故∠MNC即为NM与高SO所成的角α，（8分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（10分）
又MC=

OM2+OC2

=

22+12

=

5

，即SO=

5

，（12分）
从而圆锥的体积V=

1

3

Sh=

1

3

π•22•

5

=

4 5 π

3

（14分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理，同时考查了圆锥的体积公式，属于中档题．