Question

14．若不等式x²-kx+k-1＞0对任意的k∈（1，3）恒成立，则实数x的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可设f（k）=x²-kx+k-1，由一次函数的单调性，可得f（1）≥0，且f（2）≥0，由二次不等式的解法可得x的范围．

解答 解：不等式x²-kx+k-1＞0对任意的k∈（1，3）恒成立，
可设f（k）=x²-kx+k-1，由一次函数的单调性，可得
$\left\{\begin{array}{l}{f（1）={x}^{2}-x≥0}\\{f（3）={x}^{2}-3x+2≥0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{x≥1或x≤0}\\{x≥2或x≤1}\end{array}\right.$，
解得x≥2或x=1或x≤0．
检验x=1不成立，即有x的范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，0]∪[2，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意构造一次函数，运用单调性解决，考查不等式的解法，属于中档题．