Question

已知两条直线a、b 与两个平面α、β，b⊥α，则下列命题正确的是

①③④

①若a∥α，则a⊥b
②若a⊥b，则a∥α
③若b⊥β，则α∥β
④若α∥β，则b⊥β

Answer 1

分析：①利用线面平行的性质判断．②利用线面平行的判定定理判断．③利用面面平行的判定定理判断．④利用面面平行的性质和线面垂直的判定定理判断．

解答：解：①∵b⊥α，∴若∥α，则有a⊥b，∴①正确．
②∵b⊥α，a⊥b，∴当a?α时，结论成立，当a?α时，结论不成立．
③∵b⊥α，若b⊥β，则根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得α∥β，∴③正确．
④∵b⊥α，若α∥β，则根据一条直线如果垂直于两个平行平面中的一个，则必垂直另外一个平面，∴b⊥β即④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查了空间直线和平面平行和垂直的性质和判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．