【题目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D是BC的中点.
(1)求证:A1C∥平面AB1D;
(2)设M为棱CC1的点,且满足BM⊥B1D,求证:平面AB1D⊥平面ABM.
【答案】
(1)证明:记A1B∩AB1=O,连接OD.
∵四边形AA1B1B为矩形,∴O是A1B的中点,
又∵D是BC的中点,∴A1C∥OD.
又∵A1C平面AB1D,OD平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.
(2)证明:∵△ABC是正三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BB1C1C,
平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AD平面ABC,
∴AD⊥平面BB1C1C.
或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C.
∵BM平面BB1C1C,∴AD⊥BM.
又∵BM⊥B1D,AD∩B1D=D,AD,B1D平面AB1D,
∴BM⊥平面AB1D.
又∵BM平面ABM,
∴平面AB1D⊥平面ABM
【解析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明A1C∥平面AB1D;(2)根据面面垂直的判定定理进行证明即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行,以及对平面与平面垂直的判定的理解,了解一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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【题目】如图,已知椭圆的右焦点为,点分别是椭圆的上、下顶点,点是直线上的一个动点(与轴的交点除外),直线交椭圆于另一个点.
(1)当直线经过椭圆的右焦点时,求的面积;
(2)①记直线的斜率分别为,求证:为定值;
②求的取值范围.
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【题目】对于数列A:a1,a2,a3,…,定义A的“差数列” A:,…
(I)若数列A:a1,a2,a3,…的通项公式,写出A的前3项;
(II)试给出一个数列A:a1,a2,a3,…,使得A是等差数列;
(III)若数列A:a1,a2,a3,…的差数列的差数列 (A)的所有项都等于1,且==0,求的值.
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1 .
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】某校从高一年级学生中随机抽取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示).则分数在[70,80)内的人数是 .
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【题目】给出如下四个命题: ①若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题;
②命题“若,则 ”的否命题为“若,则”;
③命题“ ”的否定是“”;
④“ ”是“ ”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα).
(1)若 ,且α∈(0,π),求角α的值;
(2)若 ,求 的值.
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