Question

已知椭圆的一个顶点为（-2，0），焦点在x轴上，且离心率为

2

2

．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，O为原点，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意得a=2，e=

c

a

=

2

2

．由此能求出所求椭圆的标准方程．
（2）将直线l：y=x+b代入椭圆

x2

4

+

y2

2

=1中有3x²+4bx+2b²-4=0，由根的判别式求出b的取值范围，再由韦达定理求出|AB|=

4

3

6-b2

，然后由点O到直线l的距离d=

|b|

2

求出△AOB的面积，由此能求出所求的直线方程．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意得a=2，e=

c

a

=

2

2

∴c=

2

∴b²=a²-c²=2所以所求椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1
（2）将直线l：y=x+b代入椭圆

x2

4

+

y2

2

=1中有3x²+4bx+2b²-4=0
由△=（4b）²-4×3（2b²-4）=-8b²+48＞0得-

6

＜b＜

6

由韦达定理得x1+x2=-

4

3

b，x1•x2=

2b2-4

3

∴|AB|=

4

3

6-b2

又点O到直线l的距离d=

|b|

2

∴S△ABC=

1

2

d|AB|=

2

3 2

6b2-b4

=

2

3 2

-(b2-3)2+9

∴当b²=3（满足-

6

＜b＜

6

）时，S_△ABC有最大值

2

．此时b=±

3

∴所求的直线方程为y=x±

3

点评：本题考查直线圆锥曲线的位置关系和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理选用．