Question

【题目】在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为 ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1 ， 且直线OA、OB的斜率之积等于- ，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x，y），由题意可得， ，

化简得3x2+4y2=12，

所以，动点P的轨迹C的方程为

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得 ，

，

因为点A、B在椭圆C上，

所以 ， ，

所以， = ，

化简得 ．

① 当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则 ，

由 ，得 ，

解得 ， ，S=|AB||A1B|=4|x1||y1|= ；

②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为 ，

直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，

原点O到直线AB的距离为 ，

所以△AOB的面积 ，

根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，

所以，

= ，

所以 ．

所以，四边形ABAB1的面积为定值

【解析】（1）设P（x，y），由点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得， ，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），运用两点的距离公式和斜率公式，结合点A、B在椭圆C上，可得x12+x22=4，讨论①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形；②当x1≠x2时，通过三角形的面积公式和椭圆的对称性，即可得到所求面积为定值．