Question

9．如图所示，在几何体ABCDE中，AB=BC=CA=EB=EC=2$\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{2}$，点D在底面ABC上的射影O为底面三角形ABC的中心，平面BEC⊥平面ABC．
（1）判断A，D，E，O四点是否共面，并证明你的结论；
（2）求DE与平面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由AD∩DE=D，得直线AD与直线DE确定一个平面ADEB，由已知得O∈平面ABC，且O∉平面ADEB，由此能证明A，D，E，O四点不共面．
（2）取AB中点G，在平面ABC中过O作OF⊥OG，交BC于F，以O为原点，OG为x轴，OF为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DE与平面ABD所成的角的正弦值．

解答 解：（1）A，D，E，O四点不共面．
证明：∵AD∩DE=D，∴直线AD与直线DE确定一个平面ADEB，
∵点D在底边ABC上的阴影O为底面三角形ABC的中心，
∴O∈平面ABC，且O∉平面ADEB，
∴A，D，E，O四点不共面．
（2）取AB中点G，在平面ABC中过O作OF⊥OG，交BC于F，以O为原点，OG为x轴，OF为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=CA=EB=EC=2$\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{2}$，点D在底边ABC上的阴影O为底面三角形ABC的中心，平面BEC⊥平面ABC，
∴A（1，-$\sqrt{3}$，0），B（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，3），E（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$，3），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（-1，$\sqrt{3}$，3），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-x+\sqrt{3}y+3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
设DE与平面ABD所成的角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+2}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴DE与平面ABD所成的角的正弦值$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查四点是否共面的判断与求法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．