Question

设O为△ABC内一点，若任意k∈R，有，则△ABC的形状一定是

1. A.
   锐角三角形
2. B.
   直角三角形
3. C.
   钝角三角形
4. D.
   不能确定

Answer 1

B
分析：由题意可得|-k |≥||，两边平方化简可得，关于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立，
由判别式△≤0 化简可得 sin²B≥，再由正弦定理求得 sin²C≥1，故有sinC=1，C=，由此得出结论．
解答：∵O为△ABC内一点，若任意k∈R，有，即|-k |≥||．
设△ABC的三边分别为a、b、c，把不等式|-k |≥||两边平方可得：
+k² -2k≥，即 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0．
由于k为任意实数，故关于k的不等式 a²•k²-2ac•cosB•k+c²-b²≥0恒成立．
故判别式△=4a²c²cos²B-4a²（c²-b²）≤0，化简可得 sin²B≥．
再由正弦定理可得 sin²B≥，∴sin²C≥1．
由于C为△ABC的内角，故0＜sinC≤1，故只有 sinC=1，∴C=．
故△ABC的形状一定是直角三角形，
故选 B．
点评：本题主要考查函数的恒成立问题，正弦定理的应用，两个向量的数量积的运算，属于中档题．