Question

6．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=$\frac{3}{2}$，则线段CD的长为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD²=CD•AD求解．

解答 解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=$\frac{3}{2}$×FC，∴FC=2，
在△ABD中，AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=$\frac{8}{3}$，
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD²=CD•AD，即x•4x=（$\frac{8}{3}$）²，∴x=$\frac{4}{3}$
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．