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(2013•浙江)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(Ⅰ)求d,an
(Ⅱ)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
分析:(Ⅰ)直接由已知条件a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列列式求出公差,则通项公式an可求;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论,得到等差数列{an}的前11项大于等于0,后面的项小于0,所以分类讨论求d<0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和.
解答:解:(Ⅰ)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2,整理得d2-3d-4=0.解得d=-1或d=4.
当d=-1时,an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+11.
当d=4时,an=a1+(n-1)d=10+4(n-1)=4n+6.
所以an=-n+11或an=4n+6;
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,因为d<0,由(Ⅰ)得d=-1,an=-n+11.
则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-
1
2
n2+
21
2
n

当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=
1
2
n2-
21n
2
+110

综上所述,
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
-
1
2
n2+
21
2
n,n≤11
1
2
n2-
21
2
n+110,n≥12
点评:本题考查了等差数列、等比数列的基本概念,考查了等差数列的通项公式,求和公式,考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力,是中档题.
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