Question

28、已知函数f（x）=ax³-6ax²+b，问是否存在实数a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，若存在，求出a、b的值．并指出函数的单调区间．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：要求是否存在a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，分两种情况a＞0，a＜0讨论函数的增减性利用导数求闭区间上函数的最值的方法得出a的值即可．

解答：解：a≠0时，f′（x）=3ax²-12ax=3a（x²-4x）
令f′（x）=0，得x=0，或x=4∉[-1，2]（舍）
①a＞0时，如下表

∴当x=0时，f（x）取得最大值，∴b=3；
②a＜0时，如下表

∴当x=0时，f（x）取得最小值，∴b=-29
又f（2）=-16a-29，f（-1）=-7a-29＜f（2）
∴当x=2时，f（x）取得最大值，∴-16a-29=3，a=-2，
综上：a=2，b=3或a=-2，b=-29．

点评：考查学生利用导数求闭区间上函数的最值的能力．分类讨论的数学思想的运用．