Question

【题目】双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．
（1）若l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且 =0，求l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，

直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，

直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，

可得：A（c，b2），可得： ，

∴3b4=4（a2+b2），

即3b4﹣4b2﹣4=0，

b＞0，解得b2=2．

所求双曲线方程为：x2﹣ =1，

其渐近线方程为y=± x

（2）

解：b= ，双曲线x2﹣ =1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k= ，

直线l的方程为：y=k（x﹣2），

由直线与双曲线联立消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，

△=36（1+k2）＞0，

可得x1+x2= ，

则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（ ﹣4）= ．

M为AB的中点，且 =0，可得：（x1+x2+4，y1+y2）（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，

可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，

得 +4+ k=0

可得：k2= ，

解得k=± ．

l的斜率为：±

【解析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．
【考点精析】本题主要考查了双曲线的概念的相关知识点，需要掌握平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距才能正确解答此题．