Question

【题目】已知函数f（x）= sinx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为 的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移 个单位，得到函数g（x）的图象，则（ ）
A.g（x）是奇函数
B.g（x）关于直线x=﹣ 对称
C.g（x）在[ ， ]上是增函数
D.当x∈[ ， ]时，g（x）的值域是[2，1]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）= sinx+cosωx（ω＞0），
化简得：f（x）=2sin（x+ ），
∵图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为 的等差数列，可知周期为π
∴T=π= ，解得ω=2．
那么：f（x）=2sin（2x+ ），图象沿x轴向左平移 个单位，得：2sin[2（x+ ）+ ]=2cos2x．
∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函数，在区间[0， ]单调减函数．所以A，C不对．
对称轴方程为x= （k=Z），检验B不对．
当x∈[ ， ]时，那么2x∈[ ， ]，g（x）的最大值为1，最小值为﹣2，故值域为[﹣2，1]．D正确．
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．