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    已知向量
    m
    =(2cosx，1)    ，向量
    n
    =(cosx，
    		3
    sin2x)    ，函数f(x)=
    m
    •
    n
    +
    2010
    1+cot2x
    +
    2010
    1+tan2x
    ．
    （1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；
    （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面积为
    		3
    2
    ，求
    1005(a+c)
    sinA+sinC
    的值．
    分析：（1）利用两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式化简f（x）=2sin（2x+
    π
    6
    ）+2011，
    由  2kπ+
    π
    2
    ≤2x+
    π
    6
    ≤2kπ+
    3π
    2
    ，且 x≠kπ，x≠kπ+
    π
    2
    ，k∈z，求得减区间．
    （2）由f（A）=2012，求得 A，根据△ABC的面积求出c，由余弦定理求出 a，据
    1005(a+c)
    sinA+sinC
    =
    1005a
    sinA
     求值．
    解答：解：（1）函数f(x)=
    m
    •
    n
    +
    2010
    1+cot2x
    +
    2010
    1+tan2x
    =2cos2x+
    		3
    sin2x+
    2010
    1+cot2x
    +
    2010
    1+tan2x
     
    =1+cos2x+
    		3
    sin2x+2010=2sin（2x+
    π
    6
    ）+2011．
    由  2kπ+
    π
    2
    ≤2x+
    π
    6
    ≤2kπ+
    3π
    2
    ，且 x≠kπ，x≠kπ+
    π
    2
    ，k∈z，得 kπ+
    π
    6
    ≤x≤kπ+
    2π
    3
    ，且x≠kπ+
    π
    2
    ，
    ∴单调减区间为 （kπ+
    π
    6
    ，kπ+
    π
    2
    ）∪（kπ+
    π
    2
    ，kπ+
    2π
    3
    ）．
    （2）f（A）=2012=2sin（2A+
    π
    6
    ）+2011，∴sin（2A+
    π
    6
    ）=
    1
    2
    ，∴A=
    π
    3
    ．
    又△ABC的面积为
    		3
    2
    =
    1
    2
     bcsinA=
    1
    2
    •1•c•
    		3
    2
    ，∴c=2．
    ∴a=
    		b2+c2-2bc•cosA
    =
    		3
    ，∴
    1005(a+c)
    sinA+sinC
    =
    1005a
    sinA
    =
    1005×
    		3
    		3
    2
    =2010．
    点评：本题考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，余弦定理的应用，求单调减区间是
    解题的难点．
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    已知向量
    m
    =(2cosx，-
    		3
    sin2x)    ，
    n
    =（cosx，1），设函数f（x）=
    m
    •
    n
    ，x∈R．
    （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
    （Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，
    π
    2
    ]    上有实数根，求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    m
    =(2cosx，，2sinx)    ，
    n
    =(cosx，，
    		3
    cosx)    ，函数f(x)=a
    m
    •
    n
    +b-a    （a、b为常数且x∈R）．
    （Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
    π
    2
    ]    时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•威海一模）已知向量
    m
    =(2cosx，
    		3
    cosx-sinx)，
    n
    =(sin(x+
    π
    6
    )，sinx)    ，且满足f(x)=
    m
    •
    n
    ．
    （I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
    （II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
    AB
    •
    AC
    =
    		3
    ，求边BC的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知向量
    m
    =(2cosx，，2sinx)    ，
    n
    =(cosx，，
    		3
    cosx)    ，函数f(x)=a
    m
    •
    n
    +b-a    （a、b为常数且x∈R）．
    （Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
    π
    2
    ]    时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

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