Question

5．正方形ABCD的边长为a，E，F分别是边AB，BC的中点，沿DE，EF，FD将△DAE，△EBF，△FCD折起来，三棱锥S-DEF的外接球的体积为$\frac{\sqrt{6}}{8}$πa³．

Answer 1

分析 要求三棱锥的体积先找出可以应用的底面和对应的高，这里选择三角形SEF做底面，得到结果．

解答 解：由题意图形折叠为三棱锥，且由S出发的三条棱两两垂直，
边长分别为a，$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，
可以SD，SE，SF为边补成长方体，
即有长方体的对角线即为球的直径，
则2r=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
r=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
体积V=$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{\sqrt{6}}{8}$πa³．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{8}$πa³．

点评 本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力