Question

给出下列四个命题：
①当x＞0且x≠1时，有lnx+

1

lnx

≥2；
②圆x²+y²-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0对称的点M'都在该圆上；
③若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则y=f（x）为偶函数；
④若sinx+cosx=-

2

，则tanx+cotx的值为2；
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：利用对数函数的值域判断①的正误；直线过圆心，圆上的点关于直线对称，判断②正确；利用函数图象的平移判断③；利用三角方程求出x或基本不等式判断④，即可得到正确答案．

解答：解：①当x＞0且x≠1时，有lnx+

1

lnx

≥2，显然不正确，因为lnx可以小于0；
②圆x²+y²-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0对称的点M'都在该圆上；正确，因为直线ax-y-5a-2=0
恒过圆的圆心，所以满足题意．
③若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则y=f（x）为偶函数；正确，
因为函数y=f（x-1）的图象向左平移1单位就是函数y=f（x）．
④若sinx+cosx=-

2

，则tanx+cotx的值为2；tanx+cotx=

sinx

cosx

+

cosx

sinx

=

1

sinxcosx

=

2

1+2sinxcosx-1

=

2

(sinx+cosx)2-1

=2，正确
故答案为：②③④

点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，函数奇偶性的判断，基本不等式，关于点、直线对称的圆的方程，考查计算能力，是基础题．