Question

已知函数f（x）=4sinxcos（x+

π

6

）+1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=2，a=3，S_△ABC=

3

，求b²+c²的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（I）化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由周期公式即可得解．
（II）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=2，又0＜A＜π，可解得A的值，由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，可得bc=4

3

，又a²=3²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-12，从而解得b²+c²的值．

解答： 解：（I） f(x)=4sinx(cosxcos

π

6

-sinxsin

π

6

)+1=2

3

sinxcosx-2sin²x+1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π；

（II）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）=2，
∴sin（2A+

π

6

）=1，
又∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

π

2

，A=

π

6

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，
∴bc=4

3

，
又∵a²=3²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-12，
∴b²+c²=2.1

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于基本知识的考查．