Question

19．已知函数f（x）=（x-2）e^x+a．（a∈R）
（I）试确定函数f（x）的零点个数；
（II）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，证明：x₁+x₂＜2．
参考公式：（e^t-x）'=-e^t-x（t为常数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可；
（Ⅱ）要证x₁+x₂＜2，只需证x₁＜2-x₂，只需证f（x₁）＞f（2-x₂），即要证f（2-x₂）＜0，令h（x）=-xe^2-x-（x-2）e^x，根据函数的单调性证明即可；

解答 解：（I）由g（x）=0得a=（2-x）e^x，令g（x）=（2-x）e^x，

函数f（x）的零点个数即直线y=a与曲线g（x）=（2-x）e^x的交点个数，
∵g'（x）=-e^x+（2-x）e^x=（1-x）e^x，-------------（2分）
由g'（x）＞0得x＜1，∴函数g（x）在（-∞，1）单调递增，
由g'（x）＜0得x＞1，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，函数g（x）有最大值，g（x）_max=g（1）=e，----------------------------------------（3分）
又当x＜2时，g（x）＞0，g（2）=0，当x＞2时g（x）＜0，
∴当a＞e时，函数f（x）没有零点；----------------------------------------------------------------（4分）
当a=e或a≤0时，函数f（x）有一个零点；------------------------------------------------------（5分）
当0＜a＜e时，函数f（x）有两个零点．------------------------------------------------------------（6分）
（II）证明：函数f（x）的零点即直线y=a与曲线g（x）=（2-x）e^x的交点横坐标，
不妨设x₁＜x₂，由（I）知x₁＜1，x₂＞1，得2-x₂＜1，
∵函数g（x）=（2-x）e^x在（-∞，1）上单调递增，
∴函数f（x）=-g（x）+a在（-∞，1）单调递减，
要证x₁+x₂＜2，只需证x₁＜2-x₂，------------------------------------------------------------（7分）
∴只需证f（x₁）＞f（2-x₂），又f（x₁）=0，即要证f（2-x₂）＜0，---------------------（8分）
∵由a=g（x₂）得$f（2-{x_2}）=-{x_2}{e^{2-{x_2}}}+a=-{x_2}{e^{2-{x_2}}}-（{x_2}-2）{e^{x_2}}$，（x₂＞1）--------（9分）
令h（x）=-xe^2-x-（x-2）e^x，则h'（x）=（1-x）（e^x-e^2-x），------------------------------（10分）
当x＞1时，e^x＞e^2-x，h'（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴当x₂＞1时，f（2-x₂）＜0，即x₁+x₂＜2．------------------------------------------------（12分）
证法二：由（Ⅰ）知，a＞0，不妨设x₁＜1＜x₂，
设F（x）=f（x）-f（2-x）（x＞1），则F（x）=（x-2）e^x+xe^2-x，-----------------------------（8分）
F'（x）=（1-x）（e^2-x-e^x），易知y=e^2-x-e^x是减函数，
当x＞1时，e^2-x-e^x＜e-e=0，又1-x＜0，得F'（x）＞0，
所以F（x）在（1，+∞）递增，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞f（2-x）．---------------------------（10分）
由x₂＞1得f（x₂）＞f（2-x₂），又f（x₂）=0=f（x₁），所以f（2-x₂）＜f（x₁），
由g（x）=（2-x）e^x在（-∞，1）上单调递增，得f（x）=-g（x）+a在（-∞，1）单调递减，
又2-x₂＜1，∴2-x₂＞x₁，即x₁+x₂＜2，得证．---------------------------------------（12分）】

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．