练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，∠APH=θ，θ∈(
    π
    4
    ，
    3π
    4
    )    ．（1）求l关于θ的函数关系式；（2）定义比值
    OP
    l
    为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足：θ=tan(θ-
    π
    4
    )    时，招贴画最优美．
    分析：（1）先对θ所在范围分情况求解，最后综合即可；
    （2）先根据条件求出OP=a-
    acosθ
    sinθ
    ，θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ）；进而得到
    OP
    L
    =
    sinθ-cosθ
    2θ
    ，然后借助于两次求导求出函数的最大值点即可得到结论．
    解答：解：（1）当θ∈（
    π
    4
    ，
    π
    2
    ）时，点P在线段OG上，AP=
    a
    sinθ
    ；
    当θ∈（
    π
    2
    ，
    3π
    4
    ）时，点P在线段GH上，AP=
    a
    sin(π-θ)
    =
    a
    sinθ
    ；
    当θ=
    π
    2
    时，AP=a．
    综上所述AP=
    a
    sinθ
    ，θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ），
    所以，弧AD的长L=AP•2θ=
    2aθ
    sinθ
    ．
    故所求函数关系式为L=
    2aθ
    sinθ
    ，θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ）．
    （2）证明：当θ∈（
    π
    4
    ，
    π
    2
    ）时，OP=OG-PG=a-
    a
    tanθ
    =a-
    acosθ
    sinθ
    ；
    当θ∈（
    π
    2
    ，
    3π
    4
    ）时，OP=OG+GH=a+
    a
    tan(π-θ)
    =a-
    a
    tanθ
    =a-
    acosθ
    sinθ
    ；
    当θ=
    π
    2
    时，OP=a．
    所以，OP=a-
    acosθ
    sinθ
    ，θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ）．
    从而，
    OP
    L
    =
    sinθ-cosθ
    2θ
    ，θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ）．
    记f（θ）=
    sinθ-cosθ
    2θ
    ，θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ）．
    则f′（θ）=
    θ(cosθ+sinθ)-(sinθ-cosθ)
    2θ2

    令f′（θ）=0得θ（cosθ+sinθ）=sinθ-cosθ
    因为θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ）所以cosθ+sinθ≠0，从而θ=
    sinθ-cosθ
    sinθ+cosθ
    ，
    显然θ≠
    π
    2
    ，所以θ=
    sinθ-cosθ
    sinθ+cosθ
    =
    tanθ-1
    tanθ+1
    =tan（θ-
    π
    4
    ）
    记满足θ=tan（θ-
    π
    4
    ）的θ=θ0．下面证明θ0是函数f（θ）的极值点．
    设g（θ）=θ（cosθ+sinθ）-（sinθ-cosθ），θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ），
    则g′（θ）=θ（cosθ-sinθ）＜0上θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ）恒成立．
    从而g（θ）在θ∈（
    π
    4
    ，
    3π
    4
    ）上单调递减，
    所以，当θ∈（
    π
    4
    ，θ0）时g（θ）＞0，即f′（θ）＞0，f（θ）在（
    π
    4
    ，θ0）上单调递增，
    当θ∈（θ0，
    3π
    4
    ）时，g（θ）＜0，即f′（θ）＜0，f（θ）在（θ0，
    3π
    4
    ）上单调递减．
    故f（θ）在θ=θ0．处取得极大值也是最大值．
    所以：当θ满足θ=tan（θ-
    π
    4
    ）时，函数f（θ）即
    OP
    L
    取得最大值，此时招贴画最优美．
    点评：本题主要考察解三角形在生活中的应用问题．解决本题的第二问时涉及到了两次求导来求函数的最值，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为lmm，曲柄CB长为rmm，l＞r
    （1）若l=300mm，r=80mm，当曲柄CB按顺时针方向旋转角为θ时，连杆的端点A此时离A0的距离为A0A=110mm，求cosθ的值；
    （2）当曲柄CB按顺时针方向旋转角θ为任意角时，试用l，r和θ表示活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：江苏省常州市2012届高三教育学会学业水平监测数学试题 题型：044

    如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，∠APH＝，∈()．

    (1)求l关于的函数关系式；

    (2)定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角满足：＝tan(－)时，招贴画最优美．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：江苏期末题 题型：解答题

    如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，．
    （1）求l关于θ的函数关系式；
    （2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足：时，招贴画最优美．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2012年江苏省常州市教育学会高三1月学业水平监测数学试题（解析版） 题型：解答题

    如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，．（1）求l关于θ的函数关系式；（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足：时，招贴画最优美．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案