Question

在椭圆中，F₁，F₂为其左、右焦点，以F₁F₂为直径的圆与椭圆交于A，B，C，D四个点，若F₁，F₂，A，B，C，D恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：如图，连接AF₂，结合正六边形的性质得∠F₁AF₂=90°．Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|AF₁|=c，可得|AF₂|=c，结合椭圆的定义得：|AF₁|+|AF₂|=（1+）c=2a，再结合离心率公式即可算出该椭圆的离心率．
解答：解：如图，连接AF₂，可得等腰△ABF₂中，∠B=120°
∴∠BAF₂=∠AF₂B=30°
因此∠F₁AF₂=120°-30°=90°
Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|AF₁|=c
∴|AF₂|=c，得|AF₁|+|AF₂|=（1+）c=2a
因此，椭圆的离心率e====
故选：C
点评：本题给出椭圆的焦距恰好是其内接正六边形的长对角线，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与基本概念、正六边形的性质等知识，属于基础题．