【题目】已知a>0,b>0,且a+b=2;
(1)若ab<恒成立,求m的取值范围;
(2)若+≥|x-1|+|x+2|恒成立,求x的取值范围.
【答案】(1)m>2;(2)-≤x≤
【解析】
(1)利用基本不等式求出ab的最大值,即可得到m的范围;(2)利用基本不等式求出+的最小值为8,然后解8≥|x﹣1|+|x+2|即可.
(1)∵a>0,b>0,∴2=a+b≥2,即ab≤1,
所以ab的最大值为1,当且仅当a=b=1时取等号,
∴ab<恒成立等价于1<,解得m>2.
(2)∵+=(a+b)(+)=(9+1++)≥=8,当且仅当a=,b=时取等,
∴+≥|x-1|+|x+2|恒成立等价于8≥|x-1|+|x+2|,
①当x≤-2时,8≥-x+1-x-2,解得-≤x≤-2,
②当-2<x<1时,8≥-x+1+x+2,解得-2<x<1,
③当x≥1时,8≥x-1+x+2,解得1≤x≤,
综上可得-≤x≤.
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【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆O上运动,若△PAB面积的最大值为,椭圆O的离心率为.
(1)求椭圆O的标准方程;
(2)过B点作圆E:的两条切线,分别与椭圆O交于两点C,D(异于点B),当r变化时,直线CD是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标,若不是,请说明理由.
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【题目】《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( )
A. 288种 B. 144种 C. 720种 D. 360种
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【题目】已知数列{an}是等差数列,首项a1=1,且a3+1是a2+1与a4+2的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=3.
(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程.
(2)若M是曲线C1上的一点,N是曲线C2上的一点,求|MN|的最小值.
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【题目】在如图所示的五面体中, , , ,四边形是正方形,二面角的大小为.
(1)在线段上找出一点,使得平面,并说明理由;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】已知平面上的三点 、 、 .
(1)求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程;
(2)设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ,求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
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【题目】平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:1(a>b>0)的离心率为,左右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心,以3为半径的圆与以F2为圆心,以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆E:1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点.射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值,
(ii)求△ABQ面积的最大值.
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