Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面ABCD对角线的交点．
（1）求证：A₁C⊥平面AB₁D₁；
（2）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结A₁C₁，A₁C，由正方形性质得B₁D₁⊥A₁C₁，由线面垂直得B₁D₁⊥CC₁，从而B₁D₁⊥平面A₁C₁C，进而A₁C⊥B₁D₁，同理可证A₁C⊥AB₁，由此能证明A₁C⊥平面AB₁D₁．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出

AC

=（-1，1，0）和平面AB₁D₁的法向量，利用向量法求出直线AC与平面AB₁D₁所成角的正弦值，再由同角三角函数间的关系能求出直线AC与平面AB₁D₁所成角的正切值．

解答： （1）证明：连结A₁C₁，A₁C，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴B₁D₁⊥CC₁，又A₁C₁∩CC₁=C₁，∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C，
又A₁C?平面A₁C₁C，∴A₁C⊥B₁D₁，
同理可证A₁C⊥AB₁，
又AB₁∩B₁D₁=B₁，∴A₁C⊥平面AB₁D₁．
（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，1），
D₁（0，0，1），

AC

=（-1，1，0），

AB1

=（0，1，1），

AD1

=（-1，0，1），
设平面AB₁D₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AB1 =y+z=0 n • AD1 =-x+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），
设直线AC与平面AB₁D₁所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=|

n • AC

| n |•| AC |

|=|

-1-1

2 × 3

|=

6

3

，
∴cosθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

6 3

3 3

=

2

，
∴直线AC与平面AB₁D₁所成角的正切值为

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．