Question

10．已知集合A={x|ax²-x+a+2=0，a∈R}．
（1）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分a=0和a≠0两种情况讨论；
（2）分A中只有一个元素和A为∅两种情况讨论．

解答 解：（1）当a=0时，A={x|-x+2=0}={2}．
当a≠0时，则方程ax²-x+a+2=0只有一解，
∴△=1-4a²-8a=0，解得$a=\frac{{-2±\sqrt{5}}}{2}$．
当$a=\frac{{-2+\sqrt{5}}}{2}$时，$A=\left\{{\sqrt{5}+2}\right\}$；当$a=\frac{{-2-\sqrt{5}}}{2}$时，$A=\left\{{2-\sqrt{5}}\right\}$．
（2）A中没有元素时，△＜0，即4a²+8a-1＞0，解得a＜$\frac{-2-\sqrt{5}}{2}$或a＞$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$，
A中只有一个元素时，由（1）得$a=\frac{{-2±\sqrt{5}}}{2}$或a=0．
综上，a的取值范围是（-∞，$\frac{-2-\sqrt{5}}{2}$]∪{0}∪[$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数零点的个数判断，对a进行讨论是关键．