Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若

sinA+sinB

cosA+cosB

=2，且a+b=12；
（1）求tan（A+B）和sinC的值；
（2）求△ABC面积的最大值及取得最大值时a、b的值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）由和差化积公式和二倍角的正切公式，计算即可得到tan（A+B），再由诱导公式以及同角公式即可得到sinC；
（2）运用基本不等式，可得ab的最大值，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答： 解：（1）若

sinA+sinB

cosA+cosB

=2，
则

2sin A+B 2 cos A-B 2

2cos A+B 2 cos A-B 2

=2，即tan

A+B

2

=2，
则tan（A+B）=

2tan A+B 2

1-tan2 A+B 2

=

2×2

1-22

=-

4

3

，
由tanC=

4

3

，即

sinC

cosC

=

4

3

，sin²C+cos²C=1，
可得sinC=

4

5

；
（2）由a+b=12，a+b≥2

ab

，
则ab≤36，
则有三角形ABC的面积S=

1

2

absinC≤

1

2

×36×

4

5

=

72

5

．
则有a=b=6时，面积取得最大值，且为

72

5

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查和差化积公式和二倍角的正切公式，考查基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．