Question

设函数f（x）=3sin（2x+φ），φ∈（-π，0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

（1）求φ；
（2）求y=f（x）的减区间；
（3）当x∈[0，

π

2

]时求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据其图象的一条对称轴是直线 x=

π

8

，把这个自变量的值代入，写出关于所求的量的方程，结合-π＜φ＜0，求出φ的值．
（2）根据（1）求出函数的解析式，利用正弦函数的单调减区间，根据不等式的基本性质求出函数的单调增区间．
（3）根据所给的x的范围，写出2x-

3π

4

的范围，根据正弦曲线写出自变量的正弦值的范围，乘以3得到函数的值域．

解答：解：（1）∵x=

π

8

是函数图象的一条对称轴，
∴sin(2×

π

8

+?)=±1
∴

π

4

+?=kπ+

π

2

，k∈Z，
∵-π＜?＜0，
∴?=-

3π

4

．（4分）
（2）由（1）知?=-

3π

4

，∴f(x)=3sin(2x-

3π

4

)，
由题意得 2kπ+

π

2

＜2x-

3π

4

＜2kπ+

3π

2

，则 kπ+

5π

8

＜x＜kπ+

9π

8

∴kπ+

5π

8

≤x≤kπ+

9π

8

，k∈Z
故函数函数f（x）的单调递减区间是(kπ+

5π

8

，kπ+

9π

8

)，k∈z
（3）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

3π

4

∈ [-

3π

4

，

π

4

]
∴sin(2x-

3π

4

)∈[-1，

2

2

]
∴3sin(2x-

3π

4

)∈[-3，

3 2

2

]

点评：本题考查三角函数的基本性质，函数的对称性，正弦函数的单调性，本题解题的关键是掌握基本函数的基本性质，本题是一个基础题．