Question

选修4-2　矩阵与变换
已知矩阵A=

3 0 0 4

，点M（-1，-1），点N（1，1）．
（1）求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M'N'的长度；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．

Answer 1

分析：（1）已知矩阵A，可以求出点M，N在矩阵A对应的变换作用下得到的点M'，N'，然后再求出线段M'N'的长度；
（2）先根据特征方程，求出特征值，然后把特征值代入Aα=λα，从而求出特征向量．

解答：解：（1）∵矩阵A=

3 0 0 4

，点M（-1，-1），点N（1，1）．
由

3 0 0 4

-1 -1

 =

-3 -4

，

3 0 0 4

1 1

 =

3 4

，…（2分）
所以M′（-3，-4），N′（3，4），
所以M/N/=

(-3-3)2+(-4-4)2

=10…（4分）
（2）f(λ)=

.

λ-3 0 0 λ-4

.

=(λ-3)(λ-4)=0
得矩阵A特征值为λ₁=3，λ₂=4，…（7分）
分别将λ₁=3，λ₂=4代入方程Aα=λα可解得矩阵A属于特征值λ₁=3的特征向量为

α1

=

1 0

，
属于特征值λ₂=4的特征向量为  

α2

=

0 1

．           …（10分）

点评：此题主要考查特征值与特征向量，是一道比较简单题，这是高考新增的知识点，但不会很难．