Question

18．解不等式a²x²-ax-2＜0（a∈R）

Answer 1

分析 由a为实数，可用a等于0和不等于0两种情况考虑：若a为0时，把a=0代入原不等式，显然不等式恒成立，当a不为0时，得到a²大于0，利用十字相乘法把方程的左边分解因式，再分类解决即可．

解答 解：根据题意分两种情况考虑：
（i）当a=0时，原不等式化为-2＜0，显然成立，因此不等式的解集为R；
（ii）当a≠0时，a²＞0，不等式a²x²-ax-2＜0变形为（ax+1）（ax-2）＜0，即为（x+$\frac{1}{a}$）（x-$\frac{2}{a}$）＜0，
则当a＞0时，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{2}{a}$，∴原不等式的解集为（-$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$），
当a＜0时，解得：$\frac{2}{a}$＜x＜-$\frac{1}{a}$，∴原不等式的解集为（$\frac{2}{a}$，-$\frac{1}{a}$），
综上可知，当a=0时，原不等式的解集为R，
当a＞0时，原不等式的解集为（-$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$），
当a＜0时，原不等式的解集为（$\frac{2}{a}$，-$\frac{1}{a}$）．

点评 此题考查了一元二次不等式的解法，由于实数a的取值不确定，故本题利用分类讨论的思想，要求学生考虑问题要全面，不要遗漏．