Question

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足对任意实数x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＞0时f（x）＞0．
（1）判断并证明f（x）在（-1，1）上的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若f(

1

5

)=

1

2

，求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据恒等式赋值，令x=y=0，即可求得f（0），再令y=-x，求得f（x）+f（-x）=f（0），根据奇函数的定义，即可证得结论；
（2）设x₁＜x₂，则作差f（x₂）-f（x₁），利用函数为奇函数和恒等式，即可得到f（x₂）-f（x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

），判断符号结合函数单调性的定义，即证得结论；
（3）利用函数为奇函数，则f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=f（

1

2

）+f（-

1

11

）+f（-

1

19

），利用恒等式化简计算即可得f（

5

13

），又f（

1

5

）+f（

1

5

）=f（

5

13

），从而求得答案．

解答：解：（1）f（x）为（-1，1）上的奇函数，
证明如下：
∵f（x）满足对任意实数x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴令x=y=0，则有f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
再令y=-x，则有f（x）+f（-x）=f（

x-x

1-x2

）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）为（-1，1）上的奇函数；
（2）f（x）在（-1，1）上为单调递减函数，
证明如下：
设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x）为奇函数且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

），
∵-1＜x₁＜x₂＜1，则x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜1，即1-x₁x₂＞0，
故

x2-x1

1-x1x2

＞0，
又∵当x＞0时f（x）＞0，
∴f（

x2-x1

1-x1x2

）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上为单调递增函数；
（3）∵f（x）为奇函数，且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=f（

1

2

）+f（-

1

11

）+f（-

1

19

）=f(

1 2 - 1 11

1- 1 2 × 1 11

)+f（-

1

19

）=f（

3

7

）+f（-

1

19

）=f(

3 7 - 1 19

1- 3 7 × 1 19

)=f（

5

13

），
又f（

1

5

）+f（

1

5

）=f(

1 5 + 1 5

1- 1 5 × 1 5

)=f（

5

13

）=

1

2

×2=1，
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=1．

点评：本题考查了抽象函数及其应用．对于抽象函数的求值问题一般选用赋值法进行求解，奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称然后判断f（-x）与f（x）之间的关系．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．本题的解题关键就是在于根据恒等式构造所需要的表达式．属于中档题．