分析 连接AC和BD交于点O,分别以OA、OB、OE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,由已知数据可得$\overrightarrow{PA}$=(2,0,-2),$\overrightarrow{PB}$=(1,$\sqrt{3}$,-2),$\overrightarrow{PC}$=(0,0,-2),进而可得平面PBC的法向量,代入sinθ=|cos<$\overrightarrow{PA}$,$\overrightarrow{n}$>|计算可得.
解答 解:连接AC和BD交于点O,连接OE,由三角形的中位线可得OE∥PC,
可得OE⊥平面ABCD,由菱形的性质可得AC⊥BD,
分别以OA、OB、OE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图),
由题意可得A(1,0,0),B(0,$\sqrt{3}$,0),C(-1,0,0),P(-1,0,2),
∴$\overrightarrow{PA}$=(2,0,-2),$\overrightarrow{PB}$=(1,$\sqrt{3}$,-2),$\overrightarrow{PC}$=(0,0,-2),
设$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)为平面PBC的法向量,则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-2z=0}\end{array}\right.$,
解得z=0,x=-$\sqrt{3}$y,取y=1,则$\overrightarrow{n}$=(-$\sqrt{3}$,1,0),
设PA与平面PBC所成角为θ,则sinθ=|cos<$\overrightarrow{PA}$,$\overrightarrow{n}$>|
=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{{2}^{2}+(-2)^{2}}•\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$
点评 本题考查直线和平面的夹角,建立空间直角坐标系并转化为向量的夹角是解决问题的关键,属中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
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